Ders 7 Mantıksal İşlem ve Mukayese Yöntemleri
MANTIKSAL İŞLEM VE MUKAYESE YÖNTEMLERİ
a. Tablo ve Grafikler
(1) Doğru Grafiği
(a) Oran
a sayısının, b sayısına oranı a/b dir. Bu ifade üzerine;
(b) Orantı
Orantının yapısı iki grup olarak incelenmektedir. Bunlar doğru orantı ve ters orantıdır. Bu yapıların grafikleri ise doğrusal veya eğrisel yapıda olabilir.
(2) Dairesel Grafikler
Daire grafikleri, daima açı, yüzde ve değer bütünü yapılarına göre doğru orantı kullanılarak parça yapılara dönüştürülür. Değer bütünü soruda tanımlanan, grafiğin belirttiği yapıların toplamı olacaktır.
NOT: Dairesel grafik yapıları ve diğer grafik yapıları, birbiri ile birlikte kullanılabilir. Bu durumda, grafikler arası bağlantıya göre, bağımlı grafikler için değer bütünlüğü sağlanmaya çalışılır.
(3) Serpme Grafiği
Bu grafiğin türünde noktasal olarak tanımlanır. Bazen bu tanımlar alt ve üst sınırları ile aynı yapıyı tek ifade üzerinde tanımlayabilir.
(4) Tablo ve Sütun Grafikleri
Birden fazla veri ile birlikte verilerin ait olduğu nesne, kişi gibi bilgilerin yatay ve dikey olarak listelenmesine tablo adı verilir. Yatay bilgiler satır, dikey bilgiler ise sütun olarak bilinir.
Yapılması gereken, istenilen ifadelerin tablodan doğru şekilde alınması ve istenilen ifadenin hangi konu ile ilişkili olduğunun bulunmasıdır. Bu durumda sorunun hangi mantığa uygun çözülmesi gerektiği görülür ve soru rahatça çözülür.
Sütun grafikleri genellikle tablo formatına kolay çevrilir ve bu nedenle tablo sorusu olarak çözümlenir.
b. Sayı Dizileri
Belirli bir kurala göre sayı gruplarına sayı dizisi adı verilir.
Örneğin: Fibonacci Sayıları: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
Karesel Sayılar: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49…
Üçgensel Sayılar: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36…
(1) Ardışık Sayı Dizileri
Bu kısımda terim sayısı ve sayı dizisi toplamlarına dikkat edilmelidir. Formül yapıları, belirli bir mantık ile üretildiği için formül değil, mantık uygulaması ile sorulara cevap aranacaktır. Dikkat edilmesi gereken husus, ardışık sayı dizilerinde artış miktarı, katsayı ve bülünebilirlik üçlüsüdür.
(a) Ardışık Sayılarda, Dizi Kalıbı Elde Etme
Ardışık sayılarda kalıp yapı belirlemek için; ‘Ardışık terimler arası farka bakılır. Bulunan bu fark kalıbın katsayısı olur. İlk sayı, sayılar arasından seçilir ve kalıbın katsayısına bölünür. Kalan varsa kalıba eklenmesi gereken değer olacaktır.’
Kalıp yapılar, formülsüz terim sayısı hesabı tanımlayacaktır.
Örneğin: 1,2,3,4,5…..kalıp:1.n olacaktır.
(b) Terim Sayı Hesabı
(I) Kalıbı, n yapısına uygun ardışık sayı dizisi,
*1’den başlıyorsa, sayma sayılarını kullanarak tanımlanan son sayı, terim sayısı olacaktır.
Örneğin: n 1,2,3,4,5,6,…..37 37 terim
*1/den başlamıyorsa, 1 den başlanarak sayılır, sonrasında ise ilk terimden önceki fazladan sayılan sayılar çıkartılır.
Örneğin: 6,7,8,….43 için
N 1,2,3,4,5,6,7,….43
43-5=38 olur.
(II) Kalıbın, n yapısına uygun olmayan 2n, 2n+1, 5n, 6n+2 vs. kalıplarda ise sayma sayıları kullanabilmek için kalıp yapı n formatına çevrilir.
Örneğin: 2,4,6,8,….46 için;
46/2 yapılır ve
1,2,3,4,……,23 olur.
NOT: Kalıp dönüşümü uygulanırken ardışık sayı dizisinde bulunan terimler değişebilir. Ancak, sayı adedine herhangi bir değişim olmaz. Yani terim sayısı aynı kalacaktır. Çünkü dönüşüm her terime uygulanmaktadır.
(c) Orta Terim Hesabı
Ardışık sayı dizilerinde orta nokta hesabı için iki farklı yöntem vardır.
(I) Sayı adedi ve bu sayıların toplam değeri biliniyorsa, aritmetik ortalama kullanılır.
Ardışık Sayı Toplamı
Orta Değer = —————————
Ardışık Sayı Adedi
NOT: Orta terimi bulmak için yapılan bölme işlemi, kalansız olmak zorundadır. Küsuratlı çıkan orta değerlerin sağındaki ve solundaki istenilen sayı değeri, sonuç olarak alınır.
NOT: Herhangi bir sayının katı olan ardışık tam sayılar, bu sayıya tam bölünebilir ve ardışık terimler arası fark bu sayıya eşittir.
(II) Ardışık sayı dizisinin ilk ve son terimi biliniyorsa ilk ve son terimin toplamının yarısı, orta terimi verir.
NOT: Orta terime eşit uzaklıkta olan sayıların toplamının yarısını alarak da bulunabilir. Bu yöntem yalnızca ardışık sayı dizileri için geçerlidir. Terimler arası artış miktarının sabit olmadığı sistemlerde kullanılmaz.
(ç) Ardışık Sayılarda Toplama
Toplama işlemi için formül çıkarımı yapılacak olursa;
7+8+9+10+11
Toplamında ortadaki sayıya eşit uzaklıkta alan sayılar arasında sayı aktarımı, orta değere olan mesafeye göre düzenlenir.
Toplam=Ortadaki sayı x sayı adedi
Şeklinde hesaplanır.
(2) Özel Tanımlı Sayı Dizileri
(a) Aritmetik Sayı Dizileri
Yazılacak sayı dizisinde artış miktarı sabittir. Aslında ardışık sayı dizileri ile aynı yapıdadır.
(b) Geometrik Sayı Dizileri
Herhangi iki ardışık terimin arasındaki oran, sabit bir sayıya eşit olan dizilere geometrik sayı dizisi adı verilir.
Örneğin: a1,a2,a3,………….an şeklinde olsun. Terimler arasında sabit oran r kabul edilirse;
a2 = a1 x r
a3 = a2 x r
a4 = a3 x r
an = an-1 x r elde edilir.
(c) Kurala Göre Terim Bulunuşu
Bu öneride öncekiler gibi genel bir tanım olmamakla birlikte, sorularda, özel bir kural tanımlanır ve sayı dizisinin terimleri istenir veya verilen sayı dizisindeki terimlere göre dizinin kuralını oluşturmanız istenir.
NOT: Sayı dizilerinde, ardışık verilen terimler arasındaki düzenleme, belirli bir kurala göre uygulanmıştır. Yani çözümleri düşünürken ardışık terimler arası farka, artış miktarına, orana, katlamalara bakılmalıdır.
c. İşlem Mantığı
(1) İşlem Kurguları ve Analizi
Sayılar üzerine, keyfi kurgular ile tanımlanan dört işlemler sonucunda istenilen sayı bulunurken işlem analizi yapılmalıdır.
(2) Basamak Analizi
Çözümleme yapıları üzerinden kurgulanan sorular işleme alınır.
(3) Sayma İlkesi
Toplama Yoluyla Sayma (Farklı zamanlarda gerçekleşebilecek olan bağımsız olaylar toplanarak sayılır.) ve Çarpma Yoluyla Sayma (Aynı anda veya arka arkaya gerçekleşecek olan bağımlı olaylar çarpılarak sayılabilir.) olarak ikiye ayrılır.
(a) Bağımsız Olaylar
Ayrık olaylardır. Birlikte düşünülemez. Ayrı ayrı düşünülmek zorundadır.
(b) Bağımlı Olaylar
Birlikte, arka arkaya yapıldığında birleşerek bir olayı oluşturan alt parça olaylardır.
(4) Modüler Analiz
Belirli bir yapı ile başlayıp, sırasıyla farklı yapılar ile ilerleyen bir işlem serisi, başlangıcı tekrar devrettiğinde bir döngü (mod) kurgulanmış olur.
Burada yapılması gerekenler; ‘Döngü oluşturan grupların eleman sayısını bulmak ve istenilen terimi, bu döngüye göre tanımlamak’tır.
ç. Şekil Yeteneği
(1) Şekillerde Katlama
Şekillerde katlama genellikle bir eksen etrafında olur. Bununla birlikte bazen belirli bir referans noktasına göre de yapılabilir. Şekillerin belli bir eksene göre katlamalarında ortaya çıkacak olan yeni şekillerin görünene karakteristikleri şeklin şeffaf olup olmamasına göre değişir.
Şeffaf şekillerde şeffaf olmaya bütün ayrıntıların görünmesine karşılık, şeffaf olmayan şekillerde sadece üste kalan ayrıntılar görülür. Bu bakımdan verilen soruda bu iki kavramdan hangisinin esas olduğuna dikkat etmek gerekmektedir.
Katlama sorularında bazen birden çok eksene göre de katlama yapılabilir. Bunun yanında birçok referans noktası da alınabilir. Bu noktada bizim asıl dikkat etmemiz gereken ‘katlama neye göre nasıl yapılıyor’ sorusudur.
Bu tür sorular bazen üç boyutlu cisimlere de yer vermektedir. Bazen de şeklin ayrıntılarına inilerek kesilip ayrılarak bir düzlem üzerinde çakışacak şekilde açılması ile elde edilen şekil istenecektir. Bazen açılmış olan şeklin katlanması istenirken bazen de katlanmış olan şeklin açılmış hali de istenebilecektir. Burada önemli olan simetri noktalarıdır.
(2) Farklı Şekli Bulma
Bir şekil grubunda farklı olan şekil isteniyorsa, bunlardan herhangi birini esas alıp diğerlerini karşılaştırırız. Bu şekilden; ‘döndürülerek farklı olana ulaşabiliriz. Şekil sayısı tek ise ikili gruplar aynı olabilir.
Mantığa ters bir şekil elde edilebilir. Şeklin içindeki materyallerden farklılık gösteren bulunabilir. Büyüklük-küçüklük, en-boy, hacim karşılaştırılması yapılabilir.
NOT: Bu sorularda tek bir döndürme yönü seçilir.
(3) Şekil Sembol İlişkileri
Bu tür sorularda verilen şekillerin hemen hepsi arasında belirli bir takım özellikler vardır. Şekiller arasındaki geçişte bu özellikler kullanılır. Bazı sorularda verilen ilk ifadede sembol ilişkisi anlaşılmayabilir. Bu durumda diğer şekle geçip ilişkiyi çözmeye çalışmalıyız.
Sorular karşımıza değişik tarzlarda gelebilir; şekil-sembol, sembol-şekil veya bir şekil birçok sembol veya da birçok şekil bir sembol biçiminde sorularla karşılaştığımızda ilk yapılması gereken buradan bir mantık (ilişki) çıkarmak olmalıdır.
(4) Şekillerde Parça-Bütün İlişkileri
Bu tür sorularda geometrik şekillerin parçalarının birleştirerek elde edilmesi, her bir parçanın kenar uzunlukları, kenarların oluşturdukları açı büyüklükleri, parçaların kapladığı alan ve bu alanın şekli vs ayrıntılar bizi çözüme götürür. Bundan dolayı var olan ayrıntılar dikkatle incelendikten sonra çözüm yollarına gidilmelidir. Bazen bir büyük parçanın kaç küçük parçadan meydana geldiği bazen de bu büyük parçalar içerisinde ne kadar küçük parçalardan olduğu sorulabilir.
(5) Şeklin Simetriği
Şeklin simetriği genellikle belli bir eksene (simetri ekseni) göre bulunur. Burada dikkat edilmesi gereken şeklin her noktasının simetri kuralına göre çizilmesidir.
Simetri kuralı; Her nokta simetri eksenine eşit uzaklıkta bir noktaya karşılık gelir.
Şeklin simetriği alınırken simetri eksenine dikkat edilmelidir. Bazen birkaç eksen verilir ve bunlardan herhangi birine göre şeklin simetriği alınması istenebilir. Bazen de simetri ekseni birden fazla olabilir. Bu durumda kaç tane simetri ekseni varsa şekil sayısı o kadar artar. Simetri ekseni bazen şekle dokunurken bazen de yeterince uzakta da olabilmektedir. Bu durumda da yine simetri kuralı geçerlidir.
(6) Şeklin Negatifi
Şekillerin negatifi bulunurken genellikle renk değişimi olur. Siyah renkler beyaz, beyaz renkler ise siyah olur. Bununla beraber bazen desen, motif vb değişimlerde olur. Bu değişimlerde dikkat etmemiz gereken yine renk değişimidir. Çünkü sonuçta bu desen, motif vb şekiller renkler aracılığı ile oluşur.
Şekillerin negatifini bulmanın diğer bir yolu da beyazları siyaha boyamak ve siyahları beyaza boyamak şeklinde olur.
(7) Şekli Tamamlama
Bu tür sorularda şeklin bir kısmı verilecek ve bundan yararlanılarak diğer kısmının bulunması istenilecektir. Burada dikkat edilmesi gereken tamamlanacak kısımdır. Tamamlanacak kısım bazen bir parçadan oluşurken bazen de birkaç parçadan oluşmaktadır. Bununla birlikte genellikle şekillerin bir düzgün geometrik şekle tamamlandığı da unutulmamalıdır.
(8) Şeklin Matrisleri
Şekil matrisleri çözülürken tam olan satır veya sütun iyice incelenmelidir. Bu durumda belirli bir mantık elde edilecektir ve bundan yararlanılarak boş olan yerlerde doldurulabilecektir. Bu tür sorularda şekil matrislerine bir bütün olarak bakılmalıdır. Yani bazen sadece satırlara bakmak bizi sonuca götürmeyebilir. Bundan dolayı satır ve sütunlar arasında ilişki varsa tespit edilir.
Şekil matrislerinin her bir satırı ve her bir sütunu bir şekil dizisi şeklindedir. Bundan dolayı önce satırlar veya sütunlar incelenmeli daha sonra satırlar veya sütunlar arasında geçişlere bakılmalıdır. Bazı şekil matrislerinde şekillerden biri verilmezken bazılarında da şekillerden biri kasten yanlış çizilmektedir. Bu durumlarda biz sonuca doğru ilelerken bulduğumuz mantığın dışına çıkmamalıyız. Bazen şekil matrislerinde bir satır veya sütunun başlangıçta var olan şeklinin değiştiği de vakidir. Bu durumda aynı kuralla sonuca ulaşılmaya çalışılmalıdır.
(9) Şekli Gruplandırma
Bu tür sorularda verilen şekiller arasında gruplandırma yapılması istenecektir. Bu gruplandırma yapılırken benzer özellikler göz önünde bulundurulmalıdır.
Verilen şekillerin bir takım ortak özellikleri vardır, biz bunları belirlediğimizde sonuca ulaşırız. Bazen verilen şekillerin bir ortak yönü olduğu gibi bazen de birçok ortak yönü bulunabilmektedir. Bununla birlikte bizden istenilen en fazla ortak özelliği olan şekiller olduğunu unutulmamalıdır.
(10) Şekil Açılımları
Bu tür soruları çözerken şekillerin yüzeyleri üzerindeki işaretlere, taramalara ve sayılara dikkat edilmelidir. Verilen açık bir şeklin kapalı bir şekil haline getirilmesi yüzeylerin birbirlerine göre durumlarından yola çıkarak yapılabilmektedir.
Kapalı şekil verilip açık şekli istenen sorular kolay görünmesine rağmen çok dikkat isteyen sorulardır. Bu soruların çözümünde üç boyuttan iki boyuta geçildiğine dikkat edilmelidir. Bu sorular daha çok üç boyutlu düşünebilme üzerinde yoğunlaşmıştır. Eğer bu bölümde zorlanacak olursanız tavsiyemiz, üç boyutlu şekiller (zar, kutu vs) üzerinde çalışınız.
(11) Şekil Dizileri
Bu tür sorularda, verilen şekiller üzerindeki işaretler, semboller, şekiller bazen de sayılar arasında bir ilişki kurulacaktır. Bu durumda dikkat edilmesi gereken nokta, bu veriler üzerindeki mantığın ne olduğudur.
Verilen diziler bazen salt şekil içerdiği gibi bazen de salt sayı içermektedir. Bununla beraber sayı ve şekiller bazen sembollerle bir araya gelebilmektedir. Bize soruda verilen diziler ne durumda olursa olsun önce soruyu iyice inceleyip sonra çözüm yoluna gitmek olmalıdır.
